分数の割り算 - sww’s diary

この前彼女が「おもいでぽろぽろ」？を見てやっぱり分数の割り算が分からんと言ってきた。

下のような物は「1つのリンゴを２人で分けたら一人頭1/2個になる」という理解はできるそうで。
$1 \div 2 = 1/2$

では、下記の数式ならどうなるかというと
$1 \div 1/2 = 2$
「1つのリンゴを1/2人で分ける。なんで1/2で割ると2倍になるのか？そもそも1/2人って何？」だそうです。
計算としては
$1 \times 2 = 2$
で計算できることはもちろん分かってるそうです。がなぜ逆数を掛けるのか？が良く分かっていない模様。

最初は「そういうものだから。」と返すと、「理系の人はそれだから云々」と言ってきたので、ちょっと考えて最初に用意した解答。
「世の中に割り算など無い！全ては掛け算なのだ。1/2で割ると言うことは下記のように変形できる。」
$1 \div \frac{1}{2} = 1 \div ( 1 \div 2) ) = 1 \div ( 0.5 ) = 1 \times ( \frac{1}{0.5} ) = \frac{1}{0.5}$
にまできて撃沈。この先を説明できなかった・・・

しばらく考えて、次に出した解答。
「分数の割り算というのはできない。できるのは整数もしくは変数（πとか）の割り算だけ。分数では割れないため、分数を整数にする必要がある。」
「1/2を整数にするためには？逆数である2/1を掛けたらいい。どんな分数であろうとも、逆数を掛けると1になる。」
「ただし、分母にだけ2/1を掛けると、値がおかしくなるので、分子にも2/1を掛ける。これでおかしくならないのは下の通り」

$1 = \frac{2}{2} = \frac{2 \times 1}{2 \times 1} = \frac{2\times\frac{1}{1}}{2\times\frac{1}{1}} = \frac{\frac{2\times1}{1}}{\frac{2\times1}{1}} = \frac{\frac{2}{1}}{\frac{2}{1}}$

「上の変形式より、分子、分母に2/1を掛けるのは1を全体に掛けるのと同値。なので下記が成立する」

$\frac{1}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} \times \frac{\frac{2}{1}}{\frac{2}{1}} = \frac{1\times\frac{2}{1}}{\frac{1}{2}\times\frac{2}{1}} = \frac{1\times2}{1} = \frac{2}{1} = 2$

と説明したけどイマイチのよう・・・分かりやすい説明は無いものか。